Петр Демьянович Успенский

Новая модель вселенной (Часть 3)

значений, - не нужны ни для подтверждения теории относительности, ни для чего бы то ни было.

Физики совершенно правы, чувствуя, что геометрии для них недостаточно; с их багажом им мало места в евклидовом пространстве. Но в геометрии Евклида есть одна замечательная черта (из-за которой евклидову геометрию необходимо сохранить в неприкосновенности) - она содержит указание на выход. Нет необходимости разрушать и уничтожать геометрию Евклида, ибо она вполне в состоянии приспособиться к любого рода физическим открытиям. И ключ к этому - бесконечность.

Различие между бесконечностью в математике и бесконечностью в геометрии очевидно с первого же взгляда. Математика не устанавливает двух бесконечностей для одной конечной величины. Геометрия начинается именно с этого.

ВозьмЈм любой отрезок. Что будет для него бесконечностью? У нас два ответа: линия, продолженная в бесконечность, или же квадрат, одной стороной которого является данный отрезок. А что будет бесконечностью для квадрата? Бесконечная плоскость или куб, сторону которого составляет данный квадрат. Что будет бесконечностью для куба? Бесконечное трЈхмерное пространство или фигура четырЈх измерений.

Таким образом, сохраняется привычное понятие бесконечной прямой, но к нему добавляется другое понятие бесконечности как плоскости, возникающей движением линии в направлении, перпендикулярном самой себе. ОстаЈтся бесконечная трЈхмерная сфера; но четырЈхмерное тело также является бесконечным для трЈхмерного. Сверх того, сама проблема значительно упрощается, если помнить, что 'бесконечная' прямая, 'бесконечная' плоскость и 'бесконечное' тело суть чистые абстракции, тогда как отрезок по отношению к точке, квадрат по отношению к отрезку и куб по отношению к квадрату суть реальные и конкретные факты.

Итак, не покидая области фактов, можно следующим образом сформулировать принципы бесконечности в геометрии: для каждой фигуры данного числа измерений бесконечность есть фигура данного числа измерений плюс одно.

Фигура низшего числа измерений несоизмерима с фигурой высшего числа измерений. Несоизмеримость и создаЈт бесконечность.

ВсЈ это довольно элементарно. Но если мы твЈрдо запомним выводы, которые следуют из этих элементарных положений, они позволят нам освободиться от влияния ложно толкуемого принципа Аристотеля о постоянстве явлений. Принцип Аристотеля верен в пределах конечного, в пределах соизмеримого; но как только начинается бесконечность, мы уже ничего не знаем о постоянстве явлений и законов и не имеем никакого права что-либо утверждать о нЈм.

Продолжая эти рассуждения, мы сталкиваемся с другим, ещЈ более интересным фактом, а именно: физическая бесконечность отличается от геометрической бесконечности так же существенно, как геометрическая бесконечность отличается от математической. Или, точнее, физическая бесконечность начинается гораздо раньше геометрической. И если математическая бесконечность имеет только один смысл, а геометрическая - два, то физическая бесконечность имеет много смыслов: математический (неисчислимость), геометрический (наличие нового измерения или неизмеримая протяжЈнность) и чисто физические смыслы, связанные с различиями в функциях.

Бесконечность порождена несоизмеримостью. Но прийти к несоизмеримости можно разными путями. В физическом мире несоизмеримость может возникнуть лишь вследствие количественной разницы. Как правило, только те величины считаются несоизмеримыми, которые обладают качественными различиями; качественное различие считается независимым от количественного. Но именно здесь и скрывается главная ошибка. Количественная разница вызывает качественную.

В математическом мире несоизмеримость связана с тем, что одна из сравниваемых величин оказывается недоступной вычислению. В мире геометрии она порождается или бесконечной протяжЈнностью одной из сравниваемых величин, или наличием в ней нового измерения. В физическом мире несоизмеримость порождается различием в размерах, которое позволяет иногда даже производить расчЈты.