Петр Демьянович Успенский

Tertium organum (Часть 1)

вернуться к вопросу о том, что же в

действительности представляют собой измерения пространства? И почему их три?

Самым странным для нас должно представляться то, что мы не можем

определить трехмерность математически.

Мы плохо сознаем это, и это кажется парадоксом, потому что мы все время

говорим об измерении пространства, но это факт. Математика не чувствует

протяжений пространства.

Возникает вопрос, как может такое тонкое орудие анализа, как

математика, не чувствовать измерений, если они представляют собой какие-то

реальные свойства пространства.

Говоря о математике, мы прежде всего должны признать, как основную

предпосылку, что всякому математическому выражению соответствует отношение

каких-то реальностей.

Если этого нет, если это не верно -- то нет математики. Это ее главная

сущность, главное содержание. Выражать отношения, вот задача математики. Но

отношения должны быть между чем-нибудь. Вместо алгебраических а, b и с

всегда должно быть можно подставить какую-нибудь реальность. Это азбука всей

математики. А, b и c -- это кредитные билеты, они могут быть настоящими, и

могут быть фальшивыми, если за ними нет никакой реальности.

'Измерения' играют здесь очень странную роль. Если мы изобразим их

алгебраическими знаками а, b и с, то они будут иметь характер фальшивых

кредитных билетов. Эти а, b и с нельзя заменить никакими реальными

величинами, которые выражали бы отношения измерений.

Обыкновенно изображают измерения степенями, первой, второй и третьей,

то есть если линию называют а, то квадрат, стороны которого равны этой

линии, называют а2, и куб, стороны которого равны этому квадрату, называют

Это, между прочим, дало основание Хинтону строить теорию тессарактов,

тел четырех измерений, а4. Но это чистая беллетристика. Прежде всего потому,

что изображение 'измерений' степенями совершенно условно. Все степени можно

изобразить на линии. Возьмем отрезок а, равный пяти миллиметрам, -- тогда

отрезок в 25 миллиметров будет его квадратом, то есть а2; а отрезок в 125

миллиметров будет кубом, то есть а3.

Как же понять, что математика не чувствует измерений, -- то есть что

математически нельзя выразить разницу между измерениями?

Это можно понять и объяснить только одним -- именно, что этой разницы

не существует.

И действительно, мы знаем, что все измерения в сущности тождественны,

то есть каждое из трех измерений можно по очереди рассматривать, как первое,

как второе, как третье и наоборот. Это уже ясно доказывает, что измерения не

есть математические величины. Все реальные свойства вещи могут быть выражены

математически в виде величин, то есть числами, показывающими отношение этих

свойств к другим свойствам.

Но математика в вопросе об измерениях видит как будто больше нас или

дальше нас, через какие-то грани, которые останавливают нас, но не стесняют

ее, -- и видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие

реальности.

Если бы три измерения соответствовали действительно трем степеням, то

мы имели бы право сказать, что только три степени относятся к геометрии, а

все остальные отношения высших степеней, начиная с четвертой, лежат за

геометрией.

Но у нас нет даже этого. Изображение измерений степенями совершенно

условно.

Вернее сказать -- геометрия с точки зрения математики есть

искусственное построение для разрешения задач на условных данных,

выведенных, вероятно, из свойств нашей психики.

Систему исследования 'высшего пространства' Хинтон называет

метагеометрией, и он связывает с метагеометрией имена Лобачевского, Гаусса и

других исследователей неэвклидовой геометрии.

Мы должны рассмотреть, в каком отношении к затронутым нами вопросам

находятся теории этих ученых.

Хинтон выводит свои идеи из Канта и Лобачевского.

Другие, наоборот, противопоставляют идеи Канта идеям Лобачевского. Так,

Роберто Бонола в 'Неэвклидовой геометрии' говорит, что воззрение

Лобачевского на пространство противоположно кантовскому. Он говорит:

Учение Канта рассматривает пространство как некоторую форму

субъективного созерцания, необходимо предшествующую всякому опыту; учение

Лобачевского, примыкающее скорее к сенсуализму и обычному эмпиризму,