В.Ю.Ирхин, М.И.Кацнельсон

Уставы небес. 16 глав о науке и вере (Часть 2)

этих проверок требует труда, превосходящего человеческие силы, я утверждаю, что если много поколений сочтут нужным заняться этой проверкой, то и в этом случае она удастся. Теорема не имеет другого смысла; это остается верным и тогда, когда в ее формулировке говорится о бесконечных числах; но так как все проверки могут быть проведены только для конечных чисел, то отсюда следует, что всякая теорема, относящаяся к бесконечным числам или вообще к тому, что называется бесконечным множеством... не может быть ничем иным, как сокращенным способом формулирования предложений, относящихся к конечным числам (А. Пуанкаре, О науке, с. 466).

Большие сомнения у многих математиков вызывала, например, аксиома выбора Цермело (если имеется любой набор - конечный или бесконечный - множеств, то всегда можно образовать новое множество, выбрав по одному элементу из каждого множества, входящего в набор). С ее использованием доказываются весьма странные утверждения, скажем, теорема Банаха - Тарского. Согласно этой теореме, любое выпуклое тело можно разрезать на конечное число кусков таким образом, что, переставив их, мы получим выпуклое тело любого другого размера. Очевидно, что мир, описываемый аксиоматикой Цермело-Френкеля не может быть нашим физическим миром, где ничего подобного сделать нельзя. С другой стороны, отказ от аксиомы выбора существенно обедняет классическую математику. Возможно, правильный выход из этого тупика (согласно Пенроузу) состоит в допущении, что канторова теория множеств описывает платоновский мир математических идей, некоторые из которых имеют соответствие в нашем физическом мире. Ясно, однако, что слишком для многих математиков такой вывод окажется философски неприемлемым.

В то же время, канторова теория по-видимому не противоречит структуре человеческого мышления. Можно думать, что понятие континуума как некоторой первичной сущности, не сводимой к счетным множествам, действительно присуще человеческой психике. Каждый человек обладает, вероятно, зачатками топологического мышления, основанного на идее непрерывности. Г. Вейль говорил (Математическое мышление, с. 24-41) об абстрактной алгебре и топологии как двух альтернативных способах математического мышления (по выражению Вейля, за душу каждого математика борются ангел топологии и бес абстрактной алгебры). На уровне физиологии различные виды мышления связываются с полушариями человеческого мозга (правополушарное мышление - непрерывное, образы, топология, левополушарное мышление - логическое, символы, буквы, слова, дискретное, алгебра). Ф. Меррелл-Вольф (в книге Математика, философия и йога ) связывает обычное двойственное сознание с дискретным пространством, а просветленное недвойственное сознание - с непрерывным пространством, используя также аналогию с канторовой теорией множеств.

Интересно сопоставить два главных типа математического мышления с психологической классификацией личностей (см. книгу К.Г. Юнга Психологические типы или труды по модной сейчас науке - соционике, напр., Е. Филатова, Соционика для вас, Новосибирск, 1994). Для это нужно принять во внимание, что в соответствии с данными психологических исследований пространство в восприятии человека обычно ассоциируется с непрерывной средой (символика воды, моря и т.д., см. главу 11), а восприятие времени дискретно (см. главу 15). В соционике восприятие преимущественно пространственных или временных отношений связывают с сенсорным или интуитивным типом личности, соответственно. Можно предположить наличие некоторых корреляций между этим делением и делением математиков на геометров и алгебраистов (на такую мысль наводят, в частности, интересные психологические наблюдения в книге Р. Пенроуза Новый разум императора , однако вопрос нуждается в дальнейших исследованиях). Между прочим, в соционике для характеристики различных типов личности и межличностных взаимодействий широко используется геометрическая символика. Хотя подобное использование математики выглядит несколько бедным и искусственным по сравнению с ее применением в естественных науках, оно лишний раз подчеркивает психологическую нагрузку математических символов.

До некоторой степени противопоставление счетного мышления, основанного на понятии (натурального) числа, и топологического мышления, основанного на понятии непрерывности, соответствует различию количественного и качественного подходов. Современная математика является не только количественной, но и все больше развивает методы качественного анализа. Здесь уместно привести слова Руми: